一、几何教学目的

弗莱登塔尔认为几何就是把握儿童生活、呼吸和运动的空间，这个他们必须了解、探索和征服的空间。

有学者认为能够帮助学习者建立数学联系（数学内部、数学与现实的联系）；几何是建立良好思维习惯的工具；几何有助于激发学生学习兴趣，借助非形式知识来学习数学。

冈萨雷斯和赫布斯特概括了学习几何的四种观点：数学观点、形式观点、直觉观点和实用观点。数学观点认为学习几何为学生提供了一个体验数学家思维过程和思考方法的机会，进一步促进学生猜想和证明的能力。根据形式观点，几何促进学生逻辑思维能力的发展。直觉观点认为几何为学生提供体验和表达现实世界的语言。实用观点认为学习几何为学生提供一种解决问题的工具，提高他们应用几何知识解决问题的能力。

几何教学的重要特点是融合和运动。

我国《全日制义务教育数学课程标准》提出“图形与几何”教学目标是“帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力”。

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。

几何直观主要指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。

比较中美数学课程中对几何教学目标的描述，共性多于差异。几何直观能力，推理能力，多元表征能力，数形结合和数学建模能力都是中美课程中的重要目标。美国课程标准中对“获得意义”有更精细的描述，而在中国课程标准中对“推理能力”有更为具体的要求。

二、几何教学的理论

（一）建构主义及空间的学习

根据克莱门特和巴蒂斯塔的介绍，皮亚杰和英海尔德关于几何学习的主要贡献是提出两个有助于理解当代几何概念和技能的教学原理。在几何学习中，学生对学习对象的主动体验和操作尤其重要。其次是关于几何观念发展的层次性。它按照一定的顺序由浅入深的组织。这一顺序一开始是构建拓扑关系，然后是建立射影的关系，最后才是建立欧几里得几何关系。

（二）范希尔的几何思维发展层次

1、范希尔的几何思维发展模型

范希尔理论认为学生的几何思维从“格式塔式”的视觉层次开始，依几何思维的层次逐步进展到描述、分析、抽象化及证明等，达到更精致化的程度。该理论认为：（1）学习是一个不连续的过程，包括离散的、本质不同的各种思维水平。（2）各层次是循序渐进的。学生必须达到低级水平思维能力，才能在高级水平有理想的表现。从低级水平到高级水平的发展依赖于教学而不是年龄和生理成熟。（3）对于某一层次地理解并加以内化就成为概念，然后这些概念将成为下一个层次地外显行为。（4）每一个水平都有它自己的语言。这些语言包含符号的用法及其关系。因此，如何组织语言在不同水平的活动，并向高一级水平发展是一个很重要的因素。

2、关于范希尔几何思维发展模型的相关研究

对于范希尔几何思维水平模型的研究主要集中在以下几个方面：首先是关于各个水平的特点。根据范希尔理论，在水平2的学生，他们整体的认知结构使得他们根据几何性质来思考形状。然而，由于确定学生几何思维水平的困难，以及学生在不同概念中表现出不同水平来刻画？因此,范希尔理论的模型也行需要进一步发展和完善。

3、整合SOLO分类，精致范希尔理论

一些学者试图用观察到的学习结果的结构分类来紧致范希尔理论。范希尔理论强调几何思维水平的不连续性。但是，佩格和戴维认为这些水平是连续的。他们进一步建议学生在同一时间可能发展不只在一水平上。他们认为整体来说，这种水平描述是有效的，但是当仔细检查学生思维水平时，这种水平描述也行不合适。

4、另一种精细化范希尔水平的途径

巴蒂斯塔提供了另一种发展途径：他从两个方面拓展了范希尔水平，即基于性质思维的发展和关于性质推断的发展。

5、关于范希尔模型的讨论

关于范希尔理论的主要批评之一是学生的思维发展不能刻画从一个水平跳跃到下一个水平，而是小步子渐进。尽管如此，范希尔理论仍然被许多学者钟爱，从更为一般的意义上来看，范希尔理论描述的思维发展部分反映科学或数学的思维发展。

三、几何证明的教学

什么是数学证明？

数学证明是使人信服在某个认可的标准中一个数学命题是成立的。证明是一个逻辑的论证，而不是一个经验的说明。也就是说，证明必须证实对所有的情形，命题都成立。数学证明是古希腊文明的最为显著的成果之一。

四、动态几何学习系统与中学几何教学

   动态几何学习系统，为几何教学提供了强调的支持。如果我们使用得当，动态几何软件不仅可以画图，做几何“实验”，探索和发现几何关系，也能促进学生几何思维能力的发展，同时发展学生演绎能力及高层次思维能力。

五、几何教学案例研究